Okay, after this disclaimer we can start discussing the problem. The proof that the trisection is indeed not possible for general angles is due to Wantzel in 1836 (according to Wolfram Math World). It is based on the fact that the trisection would solve a very general rational polynomial equation of degree 3, but such a solution can in general not be written in terms of square roots, which is all a compass and a ruler can achieve. Note that some angles can be trisected, some can’t. The result does not only claim, that there is no general method. It claims that there are angles (indeed most in some sense) that can not be trisected, not by any compass and ruler construction.

There are sliding constructions, which are not really constructions. See this C.a.R. page for two examples. These “constructions” slide a line such that two requirements are solved simultaneously. Each of these can be solved by a compass and ruler construction, but not both at the same time. This is not cheating. It is just not the way the ancient Greek thought about constructions. In view of Wantzel’s result it is like allowing cube roots in equations, where previously only square roots were allowed.

There are good approximations. One is shown on Wofram’s site. But I like another one better, because it so good.

• Trisect the chord segment of the angle, and intersect the radius through this point with the circle for a point A.
• Construct a line through the trisection point of the chord segment perpendicular to the segment, and intersect it with the circle for a point B.
• Trisect AB to find a point C.

The error is of order 5, and not larger than 0.007° for angles less than 45°. A and B are already good approximations with an error less than 0.36° resp. 0.17°. To be fair, it is very hard to trisect AB in a real world construction, since it is already very small.

The angle trisection is only one of the Greek problems. Another one is to construct a square with the same area than a given circle. This is even harder, since pi is not a zero of any rational polynomial. It is transcendental.

If you like some fun read Dudley’s What to do when the trisector comes.

Die Inzucht des Schulunterrichts ist schon seit langem bemerkt und diskutiert worden. Sie gehen von der Schule an die Uni, lernen dort verwirrenden und “unnötigen” Stoff, und kehren wieder an die Schule zurück, wo sie das meiste, wenn nicht alles Wissen wieder ablegen, einschließlich der wissenschaftlichen Methodik. Es ist sogar so, dass sich manche zukünftige Lehrer über die Gegenstände und Methoden der Vorlesung beschweren. “Das kann man ja an der Schule doch nicht brauchen.” Zur Verteidigung kann höchstens gesagt werden, dass viele zukünftige Lehrer mit Enthusiasmus, voll von wissenschaftlicher Neugier, zurück an die Schule gehen, wo sie erst vom Seminarlehrer mit strikten Vorgaben in Methodik und Kanon, dann von den Eltern und Schülern gebremst werden.

Letztlich hilft nur, die Idee der Wissenschaft und des Lernens als Denkprozess in den Köpfen der Eltern, der Schüler, und dann der Kultusministerien zu verankern. Es gibt dazu schon viele Ansätze in den Lehrplänen, aber noch immer zählt Faktenabfrage mehr als Diskussion, Nachdenken und Kreativität, die Frage nach dem Was mehr als die nach dem Warum. Wenn dieses Umdenken einmal eingesetzt hat, wird man erkennen, dass ein ständiges Zurückfahren der Fachinhalte, vor allem durch zeitliche Verkürzung, nicht die richtige Antwort ist.

Eine mögliche Idee wäre den Lehrer zunächst zum Fach-Bachelor zu machen. Wenn wir schon auf dieses System umstellen, dann wäre das eine Chance. Erst im Master kann er oder sie sich zu einem Lehrer ausbilden lassen. Erst nach dem Bachelor setzen Schulbesuche, Praktika, Didaktik-Inhalte und Pädagogik-Ausbildung ein, und führen zum Master of Education. Eventuell kommen höchstens einige Vorlesung zur Verstärkung des Zweitfachs dazu.

>plot2d("sqrt(cos(x))*cos(200*x)+sqrt(abs(x))-0.7*(4-x^2)^0.01", ...
> -2,2,n=10000,frame=0,grid=0,color=red);


and this is the result:

How is it working? It is made of three nice functions.


>plot2d("sqrt(cos(x))+sqrt(abs(x))-0.7*(4 -x^2)^0.01",r=1.8,color=red);
>plot2d("-sqrt(cos(x))+sqrt(abs(x))-0.7*(4 -x^2)^0.01",add=true,color=blue);
>plot2d("sqrt(abs(x))-0.7*(4 -x^2)^0.01",add=true,color=black);
>


Which can be seen in the following plot.

The cos(200x) term just oscillates between the red and blue bounds. In Euler, the functions becomes invalid for |x| too large and stops plotting.

Nice!

It is a matter of routine to apply linear algebra to get a formula for integration of the form

which is exact for polynomials of degree n. You just have to choose the points x, and derive the coefficients with a linear system.

If you allow the points x to float in the interval, you have suddenly 2n+2 degrees of freedom. So it can be guesses that it might be possible to select points and coefficients so that the integration is exact for polynomials of degree 2n+1 (which have 2n+2 coefficients). To find these points, is a much tougher step.

I could not find out if the method actually goes back to Gauß. The main theorem of the history of math says that nothing is named after its inventor. But in this case, the method is so clever, it could be Gauß’s.

The trick is to use the zeros of the (n+1)-th orthogonal polynomial q for the points x. This will work, since we can divide any polynomial p of degree 2n+1 by q, and get

with h and r being polynomials of degree at most n. Since the first term on the right hand side vanishes, we need only a formula exact for the remainder r. Moreover, for the summation we get

Again the first term on the right vanishes. I consider these both equations a coincidence, which needs a brilliant mind to be observed.

The method can also be implied for integration with a positive weight function, even on infinite intervals. It is a very useful and impressive method. If you need to demonstrate the usefulness of a little bit of math, this is one candidate. The other might be Newton’s method for the solution of equations.

I have

• here

an Euler notebook, which computes the points x and the coefficients a.

Verpflichtende Übungen, also zum Beispiel 50% der Lösungen mit oder ohne Bewertung des Vorrechnens, oder auch eine verpflichtende Übungsklausur, egal wie niedrig der Pflichtsatz ist, sind rechtlich und didaktisch ein schlechte Idee.

Hier zunächst die rechtlichen Probleme.

• Aufgrund der Härten der Modularisierung gibt es in den meisten Ländern Erlasse, dass zu jeder Prüfung eine zeitnahe Wiederholungsmöglichkeit gegeben werden muss. Das gilt auch für Seminararbeiten oder sonstige Arbeiten, und zwar mit einer Nachbesserungsmöglichkeit. Die Chance, seine Leistung zu verbessern, sollte jeder bekommen. Wie aber ist das bei einer verpassten Übungsquote sinnvoll möglich und machbar? Und wollen wir wirklich Zulassungsklausuren mit Wiederholungsprüfung?
• Verpflichtende Übungen sind ungerecht, bis zu dem Grad, dass ein Student gegen die Rückweisung von der Klausur klagen könnte mit dem Argument, dass der Student neben ihm alle Übungen abgeschrieben hat, oder dass er sich hat helfen lassen. Übungen, die zu Hause gemacht werden, erfüllen nicht die Kriterien einer gerechten Prüfung. Auch das Vorrechnen hilft da nicht, da das Abschreiben der eigenen Lösung vom Blatt keine Prüfung ist, und zusätzliche Prüfungsfragen rein zufällige mündliche Noten ergeben würden.

Es soll auch Universitäten geben, in denen die Tutorien, die eigentlich vom Studenten bezahlt werden um ihm zu helfen, Pflichtveranstaltungen sind, bei denen sowohl Anwesenheitspflicht, als auch Mitwirkungspflicht besteht, die beide in die Beurteilung eingeben, ob der Student der Prüfung würdig ist oder nicht.

Ich hatte und habe dafür Verständnis. Manchmal sieht man auf Tagungen Vorträge, die aus einer auf Folie kopierten Version des Papers bestehen. Das macht wenig Arbeit, und man kann auf russisch reden, solange die Folien in Englisch gehalten sind. Man fragt sich natürlich, warum man dann überhaupt im Vortrag sitzt, und nicht die Originalarbeit in einer gemütlichen Ecke der Cafeteria liest. Offensichtlich haben viele Vortragende keine Vorstellung davon, wie viel der Mensch in 45 Minuten verstehen und aufnehmen kann.

In Vorträgen erwarte ich eine Zusammenfassung, einen Einstieg und Überblick. Je nach Umfeld sollte man die Nichtspezialisten mitnehmen. Die alte Regel, 1/3 sei für den Laien, 1/3 für den Fachmann, und 1/3 für den Spezialisten, war so schlecht nicht, muss aber natürlich je nach Publikum abgewandelt werden.

Und dabei ist es eigentlich egal, ob das mit Folien, an der Tafel oder Beamer geschieht. Moderne Präsentationen, mit entsprechenden Latex-Paketen erstellt, sehen aber einfach besser aus, sind praktischer als Tafelskizzen, und irgendwie professioneller. Außerdem können Sie mit medialen Inhalten oder Demos angereichert werden.

Vor allem aber, und das ist der springende Punkt, erlauben sie das freie Sprechen vor dem Publikum. Auch in der Mathematik ist es notwendig, das Publikum über der Bedeutung der Resultate aufzuklären, sowie Kontexte herzustellen, und das ganze mit sympathischer Überzeugung vorzutragen. Das geht nicht, wenn man mit dem Rücken zu den Leuten an der Tafel herumpinselt. Es gibt außerdem nur sehr wenige Menschen, die fehlerfrei und ohne etwas zu vergessen, 45 Minuten Tafelanschrieb produzieren. Ich gehöre nicht dazu.

Nachtrag: Zum Thema passt dieser Artikel, den ich zufällig heute fand. Fazit: Viel Worte nützen nichts. Es kommt auf Aufbereitung und Konzentration an. Das wussten schon die guten Tafelvortragenden. Man schrieb nicht viel an, sondern nur das Wichtigste. Insofern passt mein Schlusssatz von oben nicht ganz. 45 Minuten Tafel passen auf eine, höchstens zwei große Tafeln, wenn es richtig gemacht wird.

Hier also das Problem: Ein Ereignis trete mit einer Wahrscheinlichkeit p auf. Wir erkennen es aber nur mit einer Wahrscheinlichkeit a. Wenn es nicht eintritt, so täuschen wir uns mit einer Wahrscheinlichkeit b, und behaupten, es wäre doch eingetreten. In der Praxis ist a gewöhnlich nahe bei 1, und b recht klein.

Ein Beispiel ist ein Zwangstest auf HIV. p ist da sehr klein, sagen wir 0.1%, entsprechend der Rate der HIV-Positiven in der Gesamtbevölkerung. Die positive Erkennensrate von HIV liegt recht hoch, sagen wir bei 99%. Allerdings werden 1% der nicht HIV-Positiven fehlerhaft als positiv getestet. (Die Zahlen sind von mir frei erfunden.)

Die Frage ist nun, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Ereignis eingetreten ist, wenn wir es beobachtet haben. Mit bedingten Wahrscheinlichkeiten ausgedrückt: Wie ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis unter der Bedingung, dass wir es beobachtet haben?

Ich hatte schon an anderer Stelle darauf hingewiesen, dass man sich am leichtesten ein Experiment vorstellt. Wir nehmen an, dass wir unseren HIV-Test an zufälligen Personen vornehmen. Dann erwarten wir natürlich

positive Ergebnisse.  Tatsächlich aufgetreten ist das Ereignis unter all diesen positiven Tests nur in

Fällen. Also erhalten wir als Antwort auf unsere Frage

Dieser Ausdruck gibt an, welcher Bruchteil von den positiv getesteten auch tatsächlich HIV-positiv ist.

Im Beispiel mit dem erzwungenen Massentests ist dieser Ausdruck ungefähr gleich 9%. Das ist doch ein bemerkenswertes Ergebnis! Es bedeutet, dass es eher unwahrscheinlich ist, HIV-positiv zu sein, wenn man zwangsweise zu einem solchen Test geladen wird, und der Test positiv ausgefallen ist.

Mehr oder weniger drastisch trifft dies auf alle Vorsorgetests zu, die eine Fehlerrate b haben, die relativ zu der Ausgangswahrscheinlichkeit p groß ist.

Man muss allerdings beachten, dass p nicht immer leicht zu bestimmen ist. Wenn es sich nämlich um einen freiwilligen Test handelt, so ist die Wahrscheinlichkeit HIV-positiv zu sein unter denen, die den Test auf sich nehmen, sicher erheblich höher. Das gleiche gilt bei Tests, die aufgrund einer Vorsorgeuntersuchung mit kritischem Ergebnis vorgenommen werden.

Um die Verhältnisse genauer einzusehen und eine praktische Faustformel herzuleiten, betrachten wir den Kehrwert dieser bedingten Wahrscheinlichkeit in der Form

und setzen dann

Dieser Ausdruck die Wahrscheinlichkeit für einen korrekt positiven Test in der Form 1:K an. Das bedeutet, dass einem richtigem Ergebnis (korrekt positiv getestet) K falsche (falsch positiv getestet) gegenüber stehen. Je größer K, desto schlechter für den Test.

Für b<a erhalten wir auf jeden Fall

und, da b klein ist, eher

Das ist tatsächlich auch eine sehr gute Abschätzung (nennen wir sie mal “Grothmannsche Faustformel”), wenn b und p gegen 0 gehen, und a gegen 1 geht. Im Beispiel kommt hier K=10 heraus, was den oben berechneten 9% gut entspricht.

Well, we usually define that as 1. Simple, nice, and useful. So, by convention,

Let us call this convention (*). We do require it to be able to write down a power series (or a polynomial) in the form

and to apply it for x=0. The result is

as expected. Otherwise, we would have to write

all the time.

Why is this so difficult that many sites and net postings have problems? First of all, trying to derive the convention from

is not meaningful, since this equation is only defined for x,y>0. If we set

using extended reals, we face the problem to define zero times infinity. Some areas of mathematics use the convention that this product is 0, which agrees with our convention (*). Note that this convention cannot be used to compute limits. See below for the problem with limits.

If we extend the definition of the powers to integer y in such a way that we have

we get

and from that we can only deduce that it is either 0 or 1. In fact, both definitions work for that rule. But since

is not defined for negative integers y, we can just pick between the two values, and we pick 1, because it is more useful.

Some people argue using limits of

defined for x,y>0. But this function simply is not continuous in (0,0). The fact, that the limit can take any value between 0 and 1 does not mean that we cannot define it in (0,0). We just do, and note that it is not continuous. There is nothing wrong with that.

So, use the convention (*) and be happy. You can use it in the complex plain, or anywhere, where multiplication makes sense.

Exercise 1: Proof that setting

works, if we are only interested in satisfying the usual exponential rules.

Exercise 2: Proof that

if we set

for any 0<a<1.

Exercise 3: Setting

show

and